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- May 30, 2008
- 12:00 AM
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Topologie von Flächen XVI
by Thilo Kuessner in Mathlog
Das 4-Farben-Problem und Computerbeweise in der Mathematik.... Read more »
Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, & Robin Thomas. (1996) A new proof of the four-colour theorem . Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 02(01), 17-26. DOI: 10.1090/S1079-6762-96-00003-0
- June 2, 2008
- 12:00 AM
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Knoten, Kabel und das Jones-Polynom
by Thilo Kuessner in Mathlog
Eine neue Arbeit von M.Hedden zu der Frage, ob man mit Quanteninvarianten, speziell dem Jones-Polynom, Knoten effektiv unterscheiden kann.... Read more »
Peter Ozsvath, & Zoltan Szabo. (2004) Holomorphic disks and genus bounds. Geometry and Topology, 311-334. DOI: 10.2140/gt.2004.8.311
- April 28, 2009
- 05:33 AM
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Zufällige Gruppen und das Menger-Fraktal
by Thilo Kuessner in Mathlog
Der Menger-Schwamm ist ein 'universelles 1-dimensionales Fraktal' und kommt, wie jetzt gezeigt wurde, auch in der Gruppentheorie "mit überwältigender Wahrscheinlichkeit" vor.
Das oben abgebildete Fraktal ist der Menger-Schwamm. Er hat die bemerkenswerte Eigenschaft, daß man jede 1-dimensionale Kurve in diesem Fraktal finden kann. Wie schon lange vermutet und jetzt bewiesen wurde, kommt er auch in der Gruppentheorie als typischer 'Rand' von Gruppen vor.
Zu einer Gruppe hat man ihren Cayleygraphen und dieser hat (oft) einen 'Rand im Unendlichen' (bestehend aus den 'Endpunkten' unendlicher Strahlen im Graphen).
Das Bild rechts oben zeigt den Cayley-Graph einer freien Gruppe. Der 'Rand' ist hier eine Cantor-Menge.
Das Bild darunter zeigt eine Pflasterung der hyperbolischen Ebene. Die Symmetriegruppe dieser Pflasterung ist eine 'diskrete, kokompakte Gruppe von hyperbolischen Isometrien', ihren Cayley-Graphen bekommt man, in dem man in jeder Kachel einen Punkt nimmt und jeweils die Punkte in benachbarten Kacheln durch Kanten verbindet.
Der 'Rand' des Graphen ist hier der Kreis, der die Kreisscheibe berandet.
In den beiden Beispielen ist der Rand der Gruppe nicht sehr kompliziert und vermutlich ist es nicht so einfach, Gruppen zu beschreiben, deren Rand ein Menger-Schwamm ist. Es war aber schon lange vermutet worden, daß für 'die meisten Gruppen' der Rand ein Menger-Schwamm ist.
In einer gestern herausgekommenen Arbeit haben Francois Dahmani und Vincent Guirardel von der Universität Toulouse und Piotr Przytycki aus Warschau nun bewiesen, daß der Rand einer "zufälligen" Gruppe "mit überwältigender Wahrscheinlichkeit" der Menger-Schwamm ist.
Konkret heißt das folgendes: für eine Zahl d zwischen 0 und 1 nimmt man sich alle Gruppen mit n Erzeugern und (höchstens) dL Relationen der Länge (höchstens) L. Eine Eigenschaft P trifft (für das gewählte d) "mit überwältigender Wahrscheinlichkeit" zu, wenn für jedes n gilt: der Anteil der Gruppen mit der Eigenschaft P geht gegen 100% für L--oo.
Gromov hatte gezeigt, daß man für d1/2 mit überwältigender Wahrscheinlichkeit die triviale Gruppe oder die Gruppe mit 2 Elementen bekommt. (Siehe [3]).
Für d... Read more »
Gromov, M. (2003) Random walk in random groups. Geometric and Functional Analysis, 13(1), 73-146. DOI: 10.1007/s000390300002
- April 26, 2009
- 06:13 PM
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Stabile Netzwerke und Eigenschaft T
by Thilo Kuessner in Mathlog
Die Konstruktion stabiler Netzwerke, über die wir gestern geschrieben hatten, hat überraschende Querverbindungen zu vielen anderen mathematischen Theorien.Gestern hatten wir über die neuen Arbeiten von Lubotzky, Kassabov und Nikolov zur Konstruktion stabiler Netzwerke (sogenannter Expander-Graphen) berichtet. Die historisch ältesten Konstruktionen solcher Expander-Graphen stammen von Margulis aus den 70er Jahren und benutzen Eigenschaft T von Gruppen.
Eigenschaft T ist ein zunächst künstlich wirkendes Konzept, das aber Anwendungen in vielen unterschiedlichen Gebieten der Mathematik hat.
Um, wie es sich gehört, mit der Definition zu beginnen:
eine Gruppe G hat Eigenschaft T, wenn für jede unitäre Wirkung von G auf einem Vektorraum V gilt: wenn es "fast-invariante" Vektoren gibt (d.h. IIgv-vII SL(3,Z/nZ)).
Einen kurzen Überblick zum Beweis findet man hier. (Die wesentlichen Punkte: SL(3,Z) hat Eigenschaft T, also hat für jeden Normalteiler N auch SL(3,Z)/N Eigenschaft T. Falls N unendlich ist, kann man aber zeigen, daß G=SL(3,Z)/N "mittelbar" ist, d.h. die Darstellung auf l2(G) hat fast-invariante Vektoren. Wegen Eigenschaft T muß sie dann einen Fixvektor haben. Das ist aber nur möglich, wenn SL(3,Z)/N endlich ist.)
[1] G. A. Margulis (1979). Finiteness of quotient groups of discrete subgroups Functional Analysis and its Applications, 13 (3), 178-187 DOI: 10.1007/BF01077485 http://www.springerlink.com/content/p4744g63077r1tvx/
[2] Lubotzky: Discrete Groups, Expanding Graphs and Invariant Measures, Birkhäuser 1994
[3] Bekka, de la Harpe, Valette: Kazhdan's Property T, Cambridge University Press 2008
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G. A. Margulis. (1979) Finiteness of quotient groups of discrete subgroups . Functional Analysis and its Applications, 13(3), 178-187. DOI: 10.1007/BF01077485
- April 25, 2009
- 08:59 PM
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Stabile Netzwerke - Neue Beispiele
by Thilo Kuessner in Mathlog
Konstruktion stabiler Netzwerke mit Gruppentheorie.Ein Netzwerk, zum Beispiel ein Telefonnetz, soll natürlich auch dann noch funktionieren, wenn einige Verbindungen ausfallen. Gleichzeitig möchte man diesen Effekt mit möglichst wenig Leitungen erreichen.
Einfaches Beispiel: man möchte 6 Punkte so verbinden, daß auch bei Ausfall von höchstens 2 Leitungen die Verbindungen noch funktionieren. Der Graph unten links ist natürlich nicht ausreichend, durch Ausfall zweier Leitungen wird der Zusammenhang zerstört. Einfach alle Punkte zu verbinden wäre (natürlich) ausreichend, aber mit 15 Leitungen viel zu aufwendig. Der rechte Graph stellt mit 9 Leitungen eine gute Lösung dar.
Die Stabilität eines Netzwerkes (mit Ecken E, Kanten K) wird durch die Cheeger-Zahl gemessen:
h:=min { #K(A,B)/min(#A,#B) : AUB=E }
wobei man also alle Zerlegungen der Eckenmenge E in zwei Teile A und B anschaut und #K(A,B) dann die Zahl der Verbindungskanten von A nach B ist.
Die Definition sieht vielleicht kompliziert aus, ist aber plausibel:
h ist klein, wenn man den Graphen so in zwei (annähernd gleich große) Teile zerlegen kann, daß es nur wenige Verbindungen zwischen den beiden Teilen gibt. Damit ist das "Netzwerk" aber sehr instabil, weil eine Störung dieser wenigen Verbindungen bereits den Zusammenhang zerstört.
(Die Graphen unten kann man z.B. durch Entfernen von 4 Kanten in Hälften mit 8-10 Stücken zerlegen, also ist h höchstens 4/8=0,5. Quelle: Mathworld)
Man sucht also systematische Methoden, um regelmäßige Graphen mit
- irgendeiner (großen) Zahl n von Ecken und
- irgendeiner festen Zahl k von Kanten an jeder Ecke
- mit nicht zu kleiner Cheeger-Zahl h zu konstruieren.
Solche Folgen von Graphen (bei denen die Cheeger-Zahl h größer ist als eine Kosntante ε) nennt man Expander-Folgen.
Eine Konstruktionsmethode für regelmäßige Graphen sind Cayley-Graphen von Gruppen. Soweit ich weiß, bauen alle systematischen Konstruktionen von Expander-Folgen auf Cayley-Graphen (und damit auf Gruppentheorie) auf. Die historisch älteste Konstruktion einer Expander-Folge stammt von Margulis (1973) und benutzt tiefliegende Eigenschaften von Lie-Gruppen, speziell Eigenschaft T (dazu morgen noch ein 2. Beitrag). Seine Konstruktion wurde dann später verallgemeinert zu sogenannten Ramanujan-Graphen. (Der Name stammt daher, daß beim Beweis von h ε die Ramanujan-Vermutung über Fourierkoeffizienten von Modulformen benutzt wird.)
Die Frage, wie weit sich diese Konstruktion verallgemeinern läßt, ist jetzt weitgehend beantwortet. Alexander Lubotzky hat in einer am Donnerstag herausgekommenen neuen Arbeit bewiesen, daß "endliche Gruppen von Lie-Typ" (d.h. Gruppen von Matrizen über endlichen Körpern), eventuell mit Ausnahme von Suzuki-Gruppen, solche Expander-Graphen liefern. (Das Ergebnis baut auf Arbeiten von Kassabov und Nikolov auf. Insbesondere hatte Kassabov in [1] schon bewiesen, daß für m 2 und einen endlichen Körper F die Cayley-Graphen der Gruppen
SL(m,F)
eine Expander-Folge sind. Lubotzky schreibt in der Einleitung: "Unlike the result mentioned previously whose proof used ingenious, but relatively elementary methods, the proof for PSL2(q) will use some deep results from the theory of automorphic forms. In particular, it will appeal to Selberg λ1 ≥ 3/16 Theorem and Drinfeld solution to the characteristic p Ramanujan conjecture.")
Lubotzkys Beweis für SL(2,F) gibt den letzten noch fehlenden Schritt im Beweis des bereits in [2] angekündigten Satzes:
Die Cayley-Graphen von endlichen einfachen (nichtabelschen, nichtsuzukischen) Gruppen sind eine Expander-Folge.
[1] Martin Kassabov, Universal lattices and unbounded rank expanders, Invent.
Math. 170 (2007), no. 2, 297-326.
[2] Martin Kassabov, Alexander Lubotzky and Nikolay Nikolov, Finite simple
groups as expanders, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 103 (2006), no. 16, 6116-
6119.
[3] Alexander Lubotzky, Finite simple groups of Lie type as expanders, http://arxiv.org/abs/0904.3411
[4] Grigori Margulis, Explicit constructions of expanders (Russian), Problemy Peredači Informacii 9 (1973), no. 4, 71--80.
Kassabov, M. (2006). Finite simple groups as expanders Proceedings of the National Academy of Sciences, 103 (16), 6116-6119 DOI: 10.1073/pnas.0510337103
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Kassabov, M. (2006) Finite simple groups as expanders. Proceedings of the National Academy of Sciences, 103(16), 6116-6119. DOI: 10.1073/pnas.0510337103
- May 21, 2010
- 09:50 AM
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Topologie von Flächen CXVII
by Thilo Kuessner in Mathlog
Matrizen, Flüsse und Knoten im Lorenz-Attraktor.
Letzte Woche ging es um Lorenz-Knoten, also Knoten im Lorenz-Attraktor, und vor 3 Wochen über den geodätischen Fluß auf der Modulfläche H2/SL(2,Z).
Dieser geodätische Fluß fließt auf dem Komplement der Kleeblattschlinge (eigentlich auf dem Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche, aber das ist dasselbe wie das Komplement der Kleeblattschlinge, siehe TvF 112).
Die periodischen Flußlinien dieses Flusses nennt man modulare Knoten.
Die Kleeblattschlinge kommt auch als Knoten im Lorenz-Attraktor vor (violett):
Jos Leys
Überraschenderweise kommen auch alle anderen modularen Knoten (und nur diese) im Lorenz-Attraktor vor. Warum?
Der 'klassische' Zugang zur Untersuchung von periodischen Flusslinien im Lorenz-Attraktor geht auf Guckenheimer-Williams zurück: man findet ein 'Template', d.i. eine (verzweigte) Fläche, so dass alle periodischen Flusslinien im Lorenz-Attraktor sich als periodische Flusslinien eines Flusses auf dem Template wiederfinden lassen.
Im Fall des Lorenz-Attraktors sieht die Fläche aus wie im Bild unten:
http://www.josleys.com/show_image.php?galid=306&imageid=9296
Die Fläche ist verzweigt entlang der roten Linie. (Die violetten Linien sind Flußlinien des Flusses.) Wenn man die rote Linie (passend) als Intervall [0,1] auffaßt, dann entspricht die Rückkehrabbildung des Flusses gerade der Abbildung x--2x mod 1. (D.h. wenn man im Punkt x der roten Linie startet, ist der nächste Schnittpunkt der violetten Flußlinie mit der roten Linie im Punkt 2x mod 1. Z.B. wenn man in 0,3 startet, schneidet man das nächste Mal in 0,6, dann in 0,2, dann in 0,4, 0,8, 0,6, und ab da wiederholt es sich periodisch.)
Die periodischen Orbits dieser Abbildung x--2x mod 1 kann man mit relativ elementaren Mitteln untersuchen und Birman-Williams benutzen das, um herauszufinden, welche Knoten als periodische Flußlinen in dieser verzweigten Fläche (und damit letztlich im Lorenz-Attraktor) vorkommen.
Überraschenderweise hat Ghys (in Kapitel 3.5 seines ICM-Vortrags) gezeigt: man kann die selbe verzweigte Fläche benutzen, um auch die modularen Knoten zu beschreiben.
(Eigentlich betrachtet er nicht den geodätischen Fluß auf der Modulfläche, sondern er deformiert die hyperbolische Metrik der Modulfläche zu einer hyperbolischen Metrik von unendlichem Volumen, deren geodätischer Fluß sich besser beschreiben läßt. Man bekommt aber dieselben Knoten als Flußlinien dieser deformierten Metrik. Er konstruiert für diesen Fluß ein 'Template', das genau mit dem Birman-Williams-'Template' des Lorenz-Attraktors übereinstimmt. Insbesondere bekommt man dieselben periodischen Flußlinien.)
Also: modulare Knoten = Lorenz-Knoten.
Damit erhält man eine explizite Beschreibung der Knoten im Lorenz-Attraktor:
in TvF 75 hatten wir mal beschrieben, daß man den geodätischen Fluß auf hyperbolischen Flächen durch Multiplikation mit 2x2-Matrizen beschreiben kann.
Speziell für die Modulfläche H2/SL(2,Z) sind die periodischen Flußlinien diejenigen, die durch Multiplikation mit (Potenzen von) Matrizen aus SL(2,Z) entstehen. Jede Matrix aus SL(2,Z) liefert also einen modularen Knoten und damit auch einen Knoten im Lorenz-Attraktor. Einige Beispiele zeigt das Bild unten (von Jos Leys):
http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-lorenz
Video und Folien zu Ghys' ICM-Vortrag.
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, ... Read more »
Ghys, �. (2009) Right-handed vector fields . Japanese Journal of Mathematics, 4(1), 47-61. DOI: 10.1007/s11537-009-0854-8
- April 20, 2010
- 03:15 AM
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ECC: Paradigmen der Elliptische-Kurven-Kryptographie
by Thilo Kuessner in Mathlog
The Serpentine Course of a Paradigm Shift.Im Beitrag über die Video-Abstrakts beim "Journal of Number Theory" (Doch kein Aprilscherz III) hatte ich den Artikel Elliptic Curve Cryptography: The Serpentine Course of a Paradigm Shift erwähnt.
In dem Artikel geht es um die Geschichte von ECC (Elliptische-Kurven-Kryptographie), und auch um deren Einordnung unter Gender- und Konstruktivismus-Aspekten.
Zu den beiden letzteren Aspekten kommen noch zwei getrennte Beiträge, hier will ich nur kurz den Inhalt des Artikels referieren.
Research into number theoretic questions concerning elliptic curves was originally pursued mainly for aesthetic reasons. beginnt der Artikel, darauf anspielend, daß elliptische Kurven lange "nur" ein zentrales Thema der Mathematik mit überwiegend inner-mathematischen Anwendungenwaren,
erwähnt dann die Einführung elliptischer Kurven in die Kryptographie 1985 durch Koblitz und Miller,
und zitiert aus der NSA-Ankündigung, Verschlüsselung im Internet in den nächsten Jahren auf ECC umzustellen.
Die Geschichte der ECC (und der Diskussionen über die Sicherheit von ECC) soll dann als eine "case study in the history of technology" untersucht werden, und die Autoren wollen klären, ob die Ideen der "Social Construction of Technology" zu einem besseren Verständnis der ECC-Geschichte beitragen können.
Offensichtlich sind in der Kryptographie Paradigmen wichtiger als anderswo. Die Autoren machen zunächst, um dies geklärt zu haben, 5 Paradigmen für die Kryptographie fest:
1. Security always at center stage,
2. From an art to science,
3. Tradition of vigorous debate,
4. Special institutions to ensure careful vetting,
5. Survival of the fittest.
Auf den nächsten 30 Seiten wird dann ein Abriß über 25 Jahre ECC gegeben, das liest man besser im Original.
Interessant (und spekulativ) ist am Ende ein Abschnitt über Historical what-ifs
One of the best ways to refute the technological determinist view of the history of cryptography that is implicit in the Ideal Model iis to ask some hypothetical questions of the form "What if...?":
- What if in 1977 someone who had just written a Ph.D. thesis on elliptic curves
had happened to read [...]
- What if the ideas described in §10 for finding discrete logs on an elliptic curve E over Fqm -- Weil descent followed by index calculus on a jacobian group, or index calculus directly on E using points with x-coordinate in Fq as the factor base -- had been proposed in the late 1980s or early 1990s? [...]
- What if pairing-based cryptography had been proposed just three or four years
earlier [...]
Die Antwort der Autoren ist letztlich, daß die Geschichte der Kryptographie ganz anders hätte verlaufen können. (Ihre Antwort auf die erste Frage ist, daß sich RSA wahrscheinlich nicht durchgesetzt hätte. Man denkt natürlich, daß es besser gewesen wäre, solche Fragen von unabhängiger Seite diskutieren zu lassen - einer der Autoren ist ja Begründer von ECC und als solcher sicher nicht unvoreingenommen.)
Danach wird dann noch 'narrative inversion' erörtert, zunächst an einem hypothetischen politischen Beispiel
Take the hypothetical example of a country whose official version of its history is that the guiding principle of its foreign policy has been to "defend freedom." Even though people in other countries might see an ever-widening chasm between this national myth and the reality, the narrative continues to be a centerpiece of the belief system of millions of people, who proclaim it with increasing fervor.
- auch hier stellt sich natürlich, unabhängig davon ob man inhaltlich zustimmt, die Frage, ob solche persönlichen Meinungsäußerungen nicht eher Zweifel an der Objektivität des Artikels wecken; ebenso wie bei der folgenden Polemik, der man viellicht inhaltlich zustimmen mag, die aber doch eigentlich nicht in eine wissenschaftliche Arbeit gehört:
In the world of scholarship as well, one often encounters narrative inversion.
Take, for example, the word science. Often the humanistic and social areas whose practitioners are the most insistent on using this word are those fields that have the worst track record in attempting to use scientific methodology. In the last century the term "social studies" was replaced by "social sciences," and departments of government became departments of "political science." Interestingly, the one profession in social studies that arguably uses a fair amount of scientific methodology and does it competently -- history -- has never insisted on changing its name to "historical science."
Jedenfalls werden dann (auf Seite 32/33) unter der Überschrift "narrative inversion in cryptography" einige Thesen anderer Autoren (Bellare) zur Kryptographie kritisiert.
Auf den letzten 6 Seiten werden schließlich die Aspekte 'Gender' und 'Social Construction of Technology' besprochen, dazu in den nächsten beiden Beiträgen.
Das Fazit der Autoren ist jedenfalls:
Our examination of the history of ECC offers no support to those who wouldargue that technology follows an inevitable path that is independent of societalconstraints. Rather, the evidence points toward ways in which technology is socially constructed:
• path-dependence -- the importance of timing, the role of happenstance;
• the role of the military in intervening at crucial stages to send the technologyin a different direction from that favored by market forces;
• closure -- the need eventually to reach a consensus and stop most debate, evenif some basic questions remain unanswered;
• narrative inversion -- a desire to use high-status terms such as "science" and"mathematical proof" that becomes more fervent even as the field is showing itselfagain and again to be as much an art as a science
Koblitz, A., Koblitz, N., & Menezes, A. (2009). Elliptic curve cryptography: The serpentine course of a paradigm shift Journal of Number Theory DOI: 10.1016/j.jnt.2009.01.006
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Koblitz, A., Koblitz, N., & Menezes, A. (2009) Elliptic curve cryptography: The serpentine course of a paradigm shift. Journal of Number Theory. DOI: 10.1016/j.jnt.2009.01.006
- March 18, 2010
- 10:14 PM
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Topologie von Flächen CVIII
by Thilo Kuessner in Mathlog
Fixpunkte und der 2-Quadrate-Satz.Letzte Woche hatten wir über die Anwendung von Modulformen auf den 2-Quadrate-Satz geschrieben, also auf die Frage:
"Welche Primzahlen lassen sich als Summe zweier Quadratzahlen zerlegen?"
Der schwierige Fall ist dabei der von Primzahlen p=4k+1, denn man sieht leicht, daß 2 sich zerlegen läßt und Primzahlen der Form p=4k+3 nie als Summe zweier Quadatzahlen zerlegt werden können.
Neben den letzte Woche erwähnten gibt es noch eine Reihe weiterer Beweise dafür, daß sich jede Primzahl der Form p=4k+1 als Summe zweier Quadrate zerlegen läßt.
Der wohl kürzeste stammt von Heath-Brown (hier als pdf) und wurde in etwas kompakterer Form von Zagier aufgeschrieben.
Dieser kürzeste Beweis läßt sich auf einen "Fixpunktsatz für Involutionen" zurückführen, der sich mit ein wenig gutem Willen topologisch interpretieren läßt, weshalb er auch hier in die Topologie-Reihe paßt.
Involutionen und Fixpunkte
Eine Involution (einer Menge S) ist eine Abbildung f:S--S mit der Eigenschaft f(x)=y f(y)=x. Ein Beispiel ist f(x) = - x, denn natürlich hat man - x = y - y = x.
Eine Involution f einer Menge S gibt einem eine Zerlegung der Menge in Paare {x,y} (mit f(x)=y,f(y)=x) und in Fixpunkte von f, also Punkte x mit f(x)=x.
Der Beweis des 2-Quadrate-Satzes wird daraus folgen, daß eine bestimmte Involution f (einer bestimmten endlichen Menge S) mindestens einen Fixpunkt hat.
Wir hatten z.B. in TvF32, TvF 33 TvF 35 oder TvF 37 schon Fixpunktsätze wie den Brouwerschen oder den Banachschen Fixpunktsatz besprochen, die unter bestimmten Voraussetzungen garantieren, daß eine stetige Abbildung einen Fixpunkt hat.
Hier, beim Beweis des 2-Quadrate-Satzes, wird man aber nur einen viel einfacheren Fixpunktsatz brauchen: wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, dann hat jede Involution f:S--S einen Fixpunkt.
Begründung dieses 'Fixpunktsatzes': man hat eine Zerlegung von S in Paare {x,y} (mit f(x)=y, f(y)=x) und in Fixpunkte (mit f(x)=x). Die Anzahl der in Paaren auftretenden Punkte ist natürlich gerade. Wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, muß es also eine ungerade Anzahl von Fixpunkten geben. (Insbesondere gibt es mindestens einen Fixpunkt.)
Beweis des 2-Quadrate-Satzes
Zunächst: es geht um Lösungen von x2+y2=p. Eine der beiden Zahlen x,y muß gerade sein, sagen wir y. Wir können y durch y/2 ersetzen und man kann also auch gleich nach Lösungen von x2 + 4y2 = p suchen.
Oder, komplizierter ausgedrückt, nach Lösungen von x2 + 4yz = p mit y=z.
(Im folgenden sind x,y,z immer natürliche Zahlen.)
Was hat man mit dieser komplizierteren Darstellung gewonnen? Man kann das ganze als Fixpunktproblem auffassen: auf der (endlichen) Menge S={(x,y,z):x2+4yz=p} sucht man nach Fixpunkten der "Involution" f(x,y,z)=(x,z,y).
(Ein Fixpunkt (x,y,z) ist eine Lösung von f(x,y,z)=(x,y,z). Hier also (x,z,y)=(x,y,z), was zu y=z äquivalent ist.)
Die Idee ist nun folgende : wenn S eine ungerade Anzahl von Elementen hat, dann muß jede Involution f:S--S einen Fixpunkt haben (siehe oben).
Umgekehrt, wenn es (irgendeine) Involution mit einer ungeraden Anzahl von Fixpunkten (z.B. genau einem Fixpunkt) gibt, dann hat S eine ungerade Anzahl von Elementen.
Um zu beweisen, daß f:S--S einen Fixpunkt hat, genügt es also, irgendeine andere Involution g:S--S anzugeben, die eine ungerade Anzahl von Fixpunkten hat.
Eine solche Abbildung g:S--S wurde 1990 von Don Zagier in der Arbeit "A One-Sentence Proof That Every Prime p=1 (mod 4) Is a Sum of Two Squares" angegeben (womit er den Original-Beweis von Heath-Brown in kompakterer Form zusammenfaßt).
Die Involution g:S--S ist definiert mit einer Fallunterscheidung:
für x ≤ y-z setze g(x,y,z)=(x+2z,z,y-x-z)
für y-z ≤ x ≤ 2y setze g(x,y,z)=(2y-x,y,x-y+z)
für x 2y setze g(x,y,z)=(x-2y,x-y+z,y).
(Man muß natürlich erst nachrechnen, daß für (x,y,z) aus S, d.h. x2+4yz=p, auch g(x,y,z) wieder zu S gehört.)
Wenn p eine Primzahl der Form p=4k+1 ist, dann ist (1,1,k) ein Element aus S und man prüft leicht nach, daß (1,1,k) der einzige Fixpunkt (in S) der Abbildung g ist.
(Man sieht leicht, daß es im 1. und 3. Fall keine Fixpunkte gibt. Im 2. Fall muß für jeden Fixpunkt x=y gelten. Weil x dann ein Teiler der Primzahl p=x2+4xz ist, folgt x=1.)
Daraus folgt dann, wie gesagt, daß auch die Involution f(x,y,z)=(x,z,y) einen Fixpunkt haben muß, also ein Tripel (x,y,z) in S mit y=z.
Tripel in S sind Lösungen von x2+4yz=p, Fixpunkte von f sind also Lösungen von x2+4y2=p. Wir bekommen also eine Zerlegung von p als Summe zweier Quadratzahlen.
Topologische Interpretation
Mit ein wenig gutem Willen kann man den oben verwendeten Fixpunktsatzes topologisch interpretieren, nämlich als Spezialfall eines allgemeinen Fixpunktsatzes für Involutionen (beliebiger Räume S):
Wenn die Euler-Charakteristik von S ungerade ist, dann hat jede stetige Involution f:S--S mindestens einen Fixpunkt.
Wenn S eine endliche Menge ist, dann ist die Euler-Charakteristik einfach die Anzahl der Punkte (und jede Abbildung ist stetig) und man bekommt den oben verwendeten Fixpunktsatz.
Oder in Zagiers Worten:
the basic principle we used: "The cardinalities of a finite set and of its fixed-point set under any involution have the same parity", is a combinatorial analogue and special case of the corresponding topological result: "The Euler characteristics of a topological space and of its fixed-point set under any continuous involution have the same parity."
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 3... Read more »
Zagier, D. (1990) A One-Sentence Proof That Every Prime p≡1(\mod 4) Is a Sum of Two Squares. The American Mathematical Monthly, 97(2), 144. DOI: 10.2307/2323918
- December 27, 2010
- 02:05 PM
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Quantenchaos auf der Modulfläche
by Thilo Kuessner in Mathlog
Im aktuellen Heft 172 der Annals of Mathematics wird der Artikel Quantum unique ergodicity for SL(2,Z)\H2 von Kannan Soundararajan veröffentlicht.... Read more »
K. Soundararajan. (2010) Quantum unique ergodicity for SL_2(Z)\H. Annals of Mathematics, 172(2), 1529-1538. arXiv: 0901.4060v1
Lindenstrauss, E. (2006) Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity. Annals of Mathematics, 163(1), 165-219. DOI: 10.4007/annals.2006.163.165
- March 24, 2008
- 08:23 PM
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Wieviel Platz braucht man, um eine Nadel zu drehen?
by Thilo Kuessner in Mathlog
Was ist die minimale Fläche in der Ebene, die man braucht, um eine Nadel der Länge 1 einmal um 360 Grad zu drehen?... Read more »
Dvir, Z. (2008) On the size of Kakeya sets in finite fields. Journal of the American Mathematical Society, 22(4), 1093-1097. DOI: 10.1090/S0894-0347-08-00607-3
- November 29, 2009
- 04:50 PM
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Komplexitätsklassen als mathematische Axiome
by Thilo Kuessner in Mathlog
Michael Freedman schlägt vor, komplexitäts-theoretische Vermutungen als zusätzliche Axiome zur üblichen ZF-Mengenlehre zu postulieren. Als Anwendung beweist er eine Ungleichung für die Weite von Knoten.Der Artikel "Complexity classes as mathematical axioms" erscheint in der aktuellen Ausgabe der "Annals of Mathematics" und kann hier heruntergeladen werden.
Bekanntlich startet man in der Mathematik immer von Axiomen, aus denen sich alle Theoreme herleiten lassen müssen.
Allgemein anerkannte axiomatische Grundlage der Mathematik ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF. In der Regel nimmt man zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre noch das Auswahlaxiom hinzu, ohne das sich viele mathematische Sätze nicht beweisen lassen. Die so gegebene Theorie (ZF und Auswahlaxiom) nennt man ZFC. (Cohen hat 1963 gezeigt, daß das Auswahlaxiom aus den ZF-Axiomen nicht bewiesen werden kann, und schon seit Gödel wußte man, daß sich die Widerspruchsfreiheit von ZFC nicht beweisen läßt, aber das ist ein anderes Thema.)
In der Komplexitätstheorie von Algorithmen gibt es grundlegende offene Fragen (wie das P=NP-Problem, auf dessen Lösung das Clay-Institut ein Preisgeld von 1 Million Dollar ausgesetzt hat), die seit Jahrzehnten offen sind und bei denen man sich fragt, ob sie vielleicht innerhalb ZFC weder bewiesen noch widerlegt werden können.
Der Topologe Michael Freedman (bekannt unter anderem für den Beweis der 4-dimensionalen Poincare-Vermutung 1981) schlägt nun vor, solche komplexitäts-theoretischen Vermutungen als zusätzliche Axiome zu den ZF-Axiomen hinzuzunehmen und zu schauen, welche Folgerungen in der Mathematik (außerhalb der Komplexitätstheorie) sich aus diesen zusätzlichen Axiomen ergeben würden.
Diesen Vorschlag untermauert er im neuesten Heft der "Annals of Mathematics" mit einem konkreten Beispiel: er leitet eine Ungleichung für bestimmte Knoten-Invarianten aus einem komplexitäts-theoretischen Axiom her.
Das von Freedman benutzte komplexitäts-theoretische Axiom ist nicht die bekannte P-NP-Vermutung, sondern die etwas komplizierter zu formulierende NP -P#P-Vermutung. Zur Erklärung der Begriffe:
- P bezeichnet Entscheidungsprobleme, die sich (auf einer Turing-Maschine) in polynomieller Zeit entscheiden lassen
- NP bezeichnet Probleme, für die es einen Algorithmus in polynomieller Zeit gibt, der eine gegebene positive Antwort bestätigen könnte
- #P bezeichnet Probleme, für die es einen Algorithmus in polynomieller Zeit gibt, der für eine gegebene Menge von Eingaben überprüft, wieviele zu einer positiven Antwort führen
- P#P bezeichnet Probleme, die sich durch Rechnungen in polynomieller Zeit und zusätzlicher Befragung des #P-Orakels lösen lassen.
Freedman geht nun von dem "Axiom" aus, daß es Probleme in P#P gibt, die nicht zu NP gehören. Aus diesem Axiom leitet er ein Theorem über Knoten ab, das bisher nicht bekannt war - eine (relativ kompliziert zu formulierende) Ungleichung für eine elementare Knoteninvariante, die Weite des Knotens. (Ich hoffe mal, 'Weite' ist die korrekte Übersetzung von 'girth'.)
Sein Argument baut auf der Dissertation von Vertigan auf, der 1991 bewiesen hatte, daß Berechnungen spezieller Werte des Jones-Polynoms von Knoten ein #P-schweres Problem ist (d.h. dieses Problem gehört nicht zur Klasse #P).
Die Ungleichung, die er beweist, betrifft die Weite eines Knotens. Zur Erklärung: ein Knoten ist ein (verknoteter) Kreis in unserem Anschauungsraum R3. Einen Knoten im R3 kann man auf verschiedene Ebenen projizieren, die entstehenden Bilder nennt man Diagramme des Knotens. Für ein solches Knotendiagramm D in der Ebene definiert man die 'Weite' als die maximale Anzahl von Schnittpunkten mit einer horizontalen Gerade: g(D)=max(#{D ∩ {y=c}}: c in R), Die 'Weite' des Knotens K ist dann die minimale Weite der Diagramme einer Projektion dieses Knotens: g(K)=min(g(D): D Diagramm von K).
Ein Knoten-Diagramm D mit g(D)=8.
Der abgebildete Knoten ist eigentlich unverknotet, es gibt andere Diagramme mit g(D)=2.
Freedman beweist nun (m.H. seines Axioms) einen Satz, der (unter einer technischen, möglicherweise immer erfüllten, Voraussetzung an die Dehn-Chirurgien des Knotens) eine Ungleichung zwischen der 'Weite' eines Knotens und der Anzahl von Kreuzungspunkten und lokalen Extrema seiner Knotendiagramme gibt.
Aus der Einleitung des Artikels:
We assume a technical but well accepted separation "axiom" NP #P, which we call Axiom A, and prove a theorem, Theorem A, in knot theory. The theorem is easily and briefly expressed in terms of classical notions such as "girth" and "Dehn surgery" and appears to be as close to current research topics in knot theory [...] Theorem A is extremely believable but seems to exist in a "technique vacuum". What makes the theorem interesting is that it sounds both "very plausible" and "impossible to prove".
M. Freedman (2009). Complexity Classes as Mathematical Axioms Annals of Mathematics (2), 170 (2), 995-1002 arXiv: 0810.0033v4
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M. Freedman. (2009) Complexity Classes as Mathematical Axioms. Annals of Mathematics (2), 170(2), 995-1002. arXiv: 0810.0033v4
- February 13, 2011
- 11:12 AM
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Zufall in der Topologie
by Thilo Kuessner in Mathlog
Man fülle zufällig Dreiecke in ein vollständiges Gitter - wieviele Löcher bleiben übrig?... Read more »
Eric Babson, Christopher Hoffman, & Matthew Kahle. (2010) The fundamental group of random 2-complexes. J. Amer. Math. Soc. 24 (2011), 1-28. arXiv: 1010.6043v1
- February 23, 2011
- 08:14 AM
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Symmetrien im Unendlichen
by Thilo Kuessner in Mathlog
Wie lassen sich Symmetrien im Unendlichen fortsetzen, differenzierbar oder nicht? Diese Frage beantwortet ein Paper in den "Mathematischen Annalen".... Read more »
Kloeckner, B. (2009) Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications. Mathematische Annalen, 347(4), 951-961. DOI: 10.1007/s00208-009-0464-z
- December 26, 2010
- 06:00 PM
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Blätterungen und die Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten
by Thilo Kuessner in Mathlog
Rezension zu
"Foliations and the Geometry of 3-Manifolds", Clarendon Press Oxford Mathematical Monographs.
(Die englische Übersetzung einer ausführlicheren Version dieser Buchbesprechung erscheint in Mathematical Reviews)
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Hyperbolische Metrik auf einer Fläche (Quelle)
Die Wechselwirkung zwischen Topologie und hyperbolischer Geometrie hat sich als ein zentrales Thema in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten erwiesen. Einerseits gab es (schon vor Perelman) Beweise des Hyperbolisierungssatzes für 3-Mannigfaltigkeiten mit speziellen topologischen Eigenschaften (Haken-Mannigfaltigkeiten, Abbildungstori), andererseits wird hyperbolische Geometrie benutzt, um die Topologie hyperbolischer Mannigfaltigkeiten zu verstehen.
Anosov-Abbildung (Quelle)
Ein besonders schönes Beispiel ist die Theorie 3-dimensionaler Abildungstori. Wenn M der Abbildungstorus eines Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus φ ist, dann ist M hyperbolisch und die Wechselwirkung zwischen der hyperbolischen Geometrie von M und der Dynamik von φ (beschrieben durch die Cannon-Thurston-Theorie) ist wie folgt:
Die Inklusion i:S--M der Faser S hebt sich zu einer Abbildung I zwischen den universellen Überlagerungen. Wenn wir hyperbolische Metriken gewählt haben entspricht I einer (nicht-isometrischen) Einbettung I:H2--H3 der hyperbolischen Ebene in den hyperbolischen Raum, und man erhält eine Abbildung zwischen den Rändern im Unendlichen δI:S1--S2, die sich als Peano-Kurve erweist. Zwei Laminierungen Λ+, Λ- des Kreises sind gegeben durch die Bedingung, daß Punkte p, q in S1 zum selben Blatt von Λ+ (bzw. Λ-) gehören, wenn sie auf denselben Punkt in S2 abgebildet werden und dieser Bildpunkt durch beliebig kurze Wege auf der positiven (bzw. negativen) Seite der Bildkurve approximiert werden kann.
Diese beiden Laminierungen von S1 geben π1S-invariante Laminierungen von H2 und damit geodätische Laminierungen der Fläche S, die gerade der stabilen bzw. instabilen Laminierung von φ entsprechen.
Laminierung der hyperbolischen Ebene (Quelle)
Noch eine andere Sichtweise aus der Dynamik ist es, den Suspensions-Fluß von φ zu betrachten. Dieser ist quasigeodätisch und ist ein Pseudo-Anosov-Fluß. Die Suspensionen der beiden Laminierungen geben natürlich die stabile bzw. instabile Laminierung des Suspensionsflusses. (Man kann zeigen, daß sie echte Laminierungen mit trivialem Guts sind, und transversal zu den Fasern.)
Ein Ziel des Buches ist eine analoge Pseudo-Anosov-Theorie für allgemeinere 3-Mannigfaltigkeiten, also eine Verallgemeinerung der für Abbildungstori von Pseudo-Anosov-Diffeomeorphismen bekannten Theorie auf eine viel größere Klasse von 3-Mannigfaltigkeiten, nämlich atoroidale 3-Mannigfaltigkeiten mit straffen Blätterungen (oder mit quasigeodätischen Flüssen). Eine der ursprünglichen Motivationen für die Entwicklung einer solchen Theorie war Thurstons Programm, die Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten auf 3-Mannigfaltigkeiten mit straffen Blätterungen (oder allgemeiner mit wesentlichen Laminierungen) zu erweitern. Auch wenn diese Ansatz jetzt von Perelmans Arbeit übertroffen wurde, bleibt die Beziehung zwischen Blätterungen und hyperbolischen Strukturen ein sehr interessantes Thema.
Ein weiteres Ziel des Buches ist die Darstellung der Idee des 'universellen Kreises im Unendlichen' für straffe Blätterungen und andere dynamische Systeme auf 3-Mannigfaltigkeiten, insbesondere die Präsentation der Resultate des Autors in "Promoting essential laminations". Das Buch ist aber (wie der Autor im Vorwort sagt) nicht aus einer einzelnen, kohärenten Perspektive geschrieben, sondern erklärt viele Ansätze und Konstruktionen der niedrig-dimensionalen Geometrie, oft durch Beispiele. Ein neugieriger Topologe kann das Buch auf einer beliebigen Seite aufschlagen und wird höchstwahrscheinlich immer irgendeinen ihn interessierenden Pubkt finden.
Kapitel 1 behandelt den Fall von Flächenbündeln, d.h. Abbildungstori. Nebenbei erklärt werden Dehn-Nielsen-Theorie und die Abbildungsklassengruppe, die Grobgeometrie der hyperbolischen Ebene, Teichmüller-Theorie und der Raum der gemessenen Laminierungen, und Thurstons Klassifikation der Homöomorphismen von Flächen.
Kapitel 2 mit dem harmlos klingenden Titel "The Topology of S1'' ist das längste Kapitel und sein Inhalt sollte auch für Geometer interessant sein, die mit Blätterungen nichts zu tun haben. Insbesondere die Fülle an Beispielen sollte jedem an irgendeinem Aspekt diskreter Gruppen Interessierten irgendetwas neues liefern. Das Kapitel beginnt mit den Ergebnissen über monotone Abbildungen und Laminierungen von S1 aus "Promoting essential laminations" (die dann in Kapitel 8 benutzt werden), diskutiert dann links-geordnete bzw. zirkulär geordnete Gruppen und beweist, daß diese gerade die Untergruppen von Homeo+(R1) bzw. Homeo+(S1) sind. In diesem Kontext werden die Euler-Klasse, beschränkte Kohomologie und die Milnor-Wood-Ungleichung eingeführt. Es werden in diesem Kapitel viele weitere geometrische und dynamische Eigenschaften von Gruppen diskutiert, von Bavards Satz über uniform perfekte Gruppen, über laminare Gruppen, über Konvergenzgruppen, bis zu Eigenschaft T, um nur ein paar Schlagworte zu erwähnen.
Kapitel 3 behandelt Minimalflächen, alles wird von den grundlegenden Definitionen entwickelt bis zum Schoen-Yau-Existenzsatz und einigen Kompaktheitssätzen.
Kapitel 4 ist über die Grundlagen der Theorie straffer Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten. Es beginnt mit dem Satz von Frobenius, geblätterten Bündeln und Holonomie, Reeb-Stabilität und vielen interessanten Konstruktionsmethoden, geht weiter mit dem Satz von Novikov (straffe Blätterungen gibt es nur auf Prim-Mannigfaltigkeiten M, die Blätter straffer Blätterungen sind inkompressibel), dem Satz von Palmeira, aus dem folgt, daß der Raum der Blätter (für die induzierte Blätterung der universellen Überlegerung von M) eine einfach zusammenhängende 1-Mannigfaltigkeit ist, und mit Ergebnissen über Verzweigung und Distortion (zum Beispiel: die Blätter der universellen Überlagerung sind uniform eigentlich eingebettet gdw. der Raum der Blätter Hausdorffsch ist). Zum Schluß werden noch einige Ergebnisse über straffe Blätterungen auf Seifert-Faserungen beschrieben.
Kapitel 5 diskutiert eine reichhaltige Beispiel-Klasse straffer Blätterungen, nämlich Blätterungen endlicher Tiefe. Es beschreibt Thurstons Konstruktion einer Norm auf der Homologie von 3-Mannigfaltigkeiten und, mit Beweisskizze, Gabais Konstruktion von straffen Blätterungen auf Prim-Mannigfaltigkeiten mit nichttrivialer Homologie H2. Anwendungen auf die Komplexität der Berechnung norm-minimierender Zykel und auf die Faserbarkeit von Links werden dargestellt.
Kapitel 6 führt wesentliche Laminierungen ein. Es präsentiert eine Menge inspirierender Beispiele, erklärt den Zusamme... Read more »
William P. Thurston. (1997) Three-manifolds, Foliations and Circles, I. arxiv. DOI: http://arxiv.org/abs/math/9712268
Dunfield, N., & Calegari, D. (2003) Laminations and groups of homeomorphisms of the circle. Inventiones Mathematicae, 152(1), 149-204. DOI: 10.1007/s00222-002-0271-6
Calegari, D. (2006) Promoting essential laminations. Inventiones mathematicae, 166(3), 583-643. DOI: 10.1007/s00222-006-0004-3
- March 28, 2011
- 01:48 PM
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Höherdimensionale Expander
by Thilo Kuessner in Mathlog
Letzte Woche auf dem ArXiv erschien eine Arbeit von Gromov-Guth über höherdimensionale Verallgemeinerungen von Expander-Graphen, mit Anwendungen auf die Distortion von Knoten.... Read more »
Gromov, M. (2009) Singularities, Expanders and Topology of Maps. Part 1: Homology Versus Volume in the Spaces of Cycles. Geometric and Functional Analysis, 19(3), 743-841. DOI: 10.1007/s00039-009-0021-7
Gromov, M. (2010) Singularities, Expanders and Topology of Maps. Part 2: from Combinatorics to Topology Via Algebraic Isoperimetry. Geometric and Functional Analysis, 20(2), 416-526. DOI: 10.1007/s00039-010-0073-8
LUBOTZKY, A., SAMUELS, B., & VISHNE, U. (2005) Explicit constructions of Ramanujan complexes of type. European Journal of Combinatorics, 26(6), 965-993. DOI: 10.1016/j.ejc.2004.06.007
Jacob Fox, Mikhail Gromov, Vincent Lafforgue, Assaf Naor, & Janos Pach. (2010) Overlap properties of geometric expanders. ArXiv. arXiv: 1005.1392v1
Matthew Kahle. (2010) Topological expanders. ArXiv. arXiv: 1012.5316v1
Misha Gromov, Larry Guth. (2011) Generalizations of the Kolmogorov-Barzdin embedding estimates. ArXiv. info:/arXiv: 1103.3423v1
- May 18, 2011
- 09:28 AM
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Verknotete Flüssigkeiten
by Thilo Kuessner in Mathlog
Verknotete Strömungslinien hängen zusammen mit Turbulenz und hydrodynamischer Instabilität. Eine in den "Annals of Mathematics" erscheinende Arbeit findet jetzt beliebig verknotete Strömungslinien für reibungsfreie, inkompressible Gase oder Flüssigkeiten.... Read more »
Alberto Enciso, & Daniel Peralta-Salas. (2010) Knots and links in steady solutions of the Euler equation. Annals of Mathematics. arXiv: 1003.3122v2
- May 6, 2011
- 02:53 PM
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Topologie von Flächen CLXVI
by Thilo Kuessner in Mathlog
Die drei kleinen Schweinchen und nochmal zum Jordanschen Kurvensatz.
In einem alten Kinderspiel sollen die Häuser der drei kleinen Schweinchen H1, H2 und H3 jeweils mit einem Wasserwerk W, einem Elektrizitätswerk E und einem Heizkraftwerk H durch Leitungen so verbunden werden, dass die Leitungen sich nicht überkreuzen:
Die Aufgabe ist nicht lösbar: man wird es nicht schaffen, die Leitungen kreuzungsfrei einzuzeichnen.
Mathematisch formuliert man die Frage so:
Gibt es eine Einbettung des vollständig bipartiten Graphen K3,3 (Bild unten) in die Ebene? ... Read more »
Thomassen, C. (1992) A characterization of the $2$-sphere in terms of Jordan curve separation. Proceedings of the American Mathematical Society, 115(3), 863-863. DOI: 10.1090/S0002-9939-1992-1124153-0
- June 29, 2011
- 02:53 PM
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Knoten im Billard
by Thilo Kuessner in Mathlog
Heute auf dem ArXiv: "Every knot is a billard knot" von Koseleff und Pecker.... Read more »
Jozef H. Przytycki. (2004) Symmetric knots and billiard knots. Chapter 20 of the book "Ideal Knots", Vol. 19 in Series on Knots and Everything, Ed. A.Stasiak, V.Katrich, L.Kauffman, World Scientific, 1999, 374-414. arXiv: math/0405151v1
Christoph Lamm, & Daniel Obermeyer. (1999) Billiard knots in a cylinder. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 8(3), 353-366. arXiv: math/9811006v1
Pierre-Vincent Koseleff, & Daniel Pecker. (2011) Every knot is a billiard knot. ArXiv. arXiv: 1106.5600v1
- May 13, 2011
- 03:58 PM
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Topologie von Flächen CLXVII
by Thilo Kuessner in Mathlog
In der Ebene lassen sich Graphen genau dann einbetten, wenn sie keine Unterteilung von K3,3 oder K5 enthalten. Man kann sich fragen, ob es einen analogen Satz auch für den Torus oder andere kompliziertere Flächen gibt, also ob man zu einer gegebenen Fläche S eine Menge von Graphen G1,...,Gn hat, so daß ein Graph G sich genau dann in S einbetten läßt, wenn er keine Unterteilung eines Gi als Teilgraphen enthält. Diese Frage ist ein Spezialfall der sogenannten Wagner-Vermutung: wenn eine Menge M von Graphen abgeschlossen bzgl. Teilgraphen und Unterteilungen ist, dann gibt es eine endliche Menge von Graphen G1,...,Gn, so daß ein Graph G genau dann zu M gehört, wenn er keine Unterteilung eines Gi als Teilgraphen enthält.
Diese Vermutung wurde von Robertson und Seymour in einem 20-teiligen Artikel im J.Combin.Theory B bewiesen.... Read more »
Robertson, N., & Seymour, P. (2004) Graph Minors. XX. Wagner's conjecture. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 92(2), 325-357. DOI: 10.1016/j.jctb.2004.08.001
- March 12, 2012
- 03:30 PM
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Waldhausens 'Virtual Haken'-Vermutung
by Thilo Kuessner in Mathlog
Ende 2009 hatten wir mal über neuere Entwicklungen zur 'Virtuell Haken'-Vermutung berichtet. Auf einer Konferenz am Poincaré-Institut in Paris soll heute ein Beweis dieser Vermutung von Ian Agol angekündigt worden sein.... Read more »
Ian Agol, Daniel Groves, & Jason Manning. (2012) The virtual Haken conjecture. ArXiv. arXiv: 1204.2810v1
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