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Mathlog
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- June 29, 2011
- 02:53 PM
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Knoten im Billard
by Thilo Kuessner in Mathlog
Heute auf dem ArXiv: "Every knot is a billard knot" von Koseleff und Pecker.... Read more »
Jozef H. Przytycki. (2004) Symmetric knots and billiard knots. Chapter 20 of the book "Ideal Knots", Vol. 19 in Series on Knots and Everything, Ed. A.Stasiak, V.Katrich, L.Kauffman, World Scientific, 1999, 374-414. arXiv: math/0405151v1
Christoph Lamm, & Daniel Obermeyer. (1999) Billiard knots in a cylinder. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 8(3), 353-366. arXiv: math/9811006v1
Pierre-Vincent Koseleff, & Daniel Pecker. (2011) Every knot is a billiard knot. ArXiv. arXiv: 1106.5600v1
- May 18, 2011
- 09:28 AM
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Verknotete Flüssigkeiten
by Thilo Kuessner in Mathlog
Verknotete Strömungslinien hängen zusammen mit Turbulenz und hydrodynamischer Instabilität. Eine in den "Annals of Mathematics" erscheinende Arbeit findet jetzt beliebig verknotete Strömungslinien für reibungsfreie, inkompressible Gase oder Flüssigkeiten.... Read more »
Alberto Enciso, & Daniel Peralta-Salas. (2010) Knots and links in steady solutions of the Euler equation. Annals of Mathematics. arXiv: 1003.3122v2
- May 13, 2011
- 03:58 PM
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Topologie von Flächen CLXVII
by Thilo Kuessner in Mathlog
In der Ebene lassen sich Graphen genau dann einbetten, wenn sie keine Unterteilung von K3,3 oder K5 enthalten. Man kann sich fragen, ob es einen analogen Satz auch für den Torus oder andere kompliziertere Flächen gibt, also ob man zu einer gegebenen Fläche S eine Menge von Graphen G1,...,Gn hat, so daß ein Graph G sich genau dann in S einbetten läßt, wenn er keine Unterteilung eines Gi als Teilgraphen enthält. Diese Frage ist ein Spezialfall der sogenannten W........ Read more »
Robertson, N., & Seymour, P. (2004) Graph Minors. XX. Wagner's conjecture. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 92(2), 325-357. DOI: 10.1016/j.jctb.2004.08.001
- May 6, 2011
- 02:53 PM
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Topologie von Flächen CLXVI
by Thilo Kuessner in Mathlog
Die drei kleinen Schweinchen und nochmal zum Jordanschen Kurvensatz.
In einem alten Kinderspiel sollen die Häuser der drei kleinen Schweinchen H1, H2 und H3 jeweils mit einem Wasserwerk W, einem Elektrizitätswerk E und einem Heizkraftwerk H durch Leitungen so verbunden werden, dass die Leitungen sich nicht überkreuzen:
Die Aufgabe ist nicht lösbar: man wird es nicht schaffen, die Leitungen kreuzungsfrei einzuzeichnen.
Mathematisch formuliert man die Frage so:
Gibt e........ Read more »
Thomassen, C. (1992) A characterization of the $2$-sphere in terms of Jordan curve separation. Proceedings of the American Mathematical Society, 115(3), 863-863. DOI: 10.1090/S0002-9939-1992-1124153-0
- March 28, 2011
- 01:48 PM
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Höherdimensionale Expander
by Thilo Kuessner in Mathlog
Letzte Woche auf dem ArXiv erschien eine Arbeit von Gromov-Guth über höherdimensionale Verallgemeinerungen von Expander-Graphen, mit Anwendungen auf die Distortion von Knoten.... Read more »
Gromov, M. (2009) Singularities, Expanders and Topology of Maps. Part 1: Homology Versus Volume in the Spaces of Cycles. Geometric and Functional Analysis, 19(3), 743-841. DOI: 10.1007/s00039-009-0021-7
Gromov, M. (2010) Singularities, Expanders and Topology of Maps. Part 2: from Combinatorics to Topology Via Algebraic Isoperimetry. Geometric and Functional Analysis, 20(2), 416-526. DOI: 10.1007/s00039-010-0073-8
LUBOTZKY, A., SAMUELS, B., & VISHNE, U. (2005) Explicit constructions of Ramanujan complexes of type. European Journal of Combinatorics, 26(6), 965-993. DOI: 10.1016/j.ejc.2004.06.007
Jacob Fox, Mikhail Gromov, Vincent Lafforgue, Assaf Naor, & Janos Pach. (2010) Overlap properties of geometric expanders. ArXiv. arXiv: 1005.1392v1
Matthew Kahle. (2010) Topological expanders. ArXiv. arXiv: 1012.5316v1
Misha Gromov, Larry Guth. (2011) Generalizations of the Kolmogorov-Barzdin embedding estimates. ArXiv. info:/arXiv: 1103.3423v1
- February 23, 2011
- 08:14 AM
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Symmetrien im Unendlichen
by Thilo Kuessner in Mathlog
Wie lassen sich Symmetrien im Unendlichen fortsetzen, differenzierbar oder nicht? Diese Frage beantwortet ein Paper in den "Mathematischen Annalen".... Read more »
Kloeckner, B. (2009) Symmetric spaces of higher rank do not admit differentiable compactifications. Mathematische Annalen, 347(4), 951-961. DOI: 10.1007/s00208-009-0464-z
- February 13, 2011
- 11:12 AM
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Zufall in der Topologie
by Thilo Kuessner in Mathlog
Man fülle zufällig Dreiecke in ein vollständiges Gitter - wieviele Löcher bleiben übrig?... Read more »
Eric Babson, Christopher Hoffman, & Matthew Kahle. (2010) The fundamental group of random 2-complexes. J. Amer. Math. Soc. 24 (2011), 1-28. arXiv: 1010.6043v1
- December 27, 2010
- 02:05 PM
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Quantenchaos auf der Modulfläche
by Thilo Kuessner in Mathlog
Im aktuellen Heft 172 der Annals of Mathematics wird der Artikel Quantum unique ergodicity for SL(2,Z)\H2 von Kannan Soundararajan veröffentlicht.... Read more »
K. Soundararajan. (2010) Quantum unique ergodicity for SL_2(Z)\H. Annals of Mathematics, 172(2), 1529-1538. arXiv: 0901.4060v1
Lindenstrauss, E. (2006) Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity. Annals of Mathematics, 163(1), 165-219. DOI: 10.4007/annals.2006.163.165
- December 26, 2010
- 06:00 PM
- 350 views
Blätterungen und die Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten
by Thilo Kuessner in Mathlog
Rezension zu
"Foliations and the Geometry of 3-Manifolds", Clarendon Press Oxford Mathematical Monographs.
(Die englische Übersetzung einer ausführlicheren Version dieser Buchbesprechung erscheint in Mathematical Reviews)
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Hyperbolische Metrik auf einer Fläche (Quelle)
Die Wechselwirkung zwischen Topologie und hyperbolischer Geometrie hat sich als ein zentrales Thema in der Theorie der 3-Mannigfaltigkeiten erwiesen. Einerseits gab es (schon vor Perelman) Beweise des........ Read more »
William P. Thurston. (1997) Three-manifolds, Foliations and Circles, I. arxiv. DOI: http://arxiv.org/abs/math/9712268
Dunfield, N., & Calegari, D. (2003) Laminations and groups of homeomorphisms of the circle. Inventiones Mathematicae, 152(1), 149-204. DOI: 10.1007/s00222-002-0271-6
Calegari, D. (2006) Promoting essential laminations. Inventiones mathematicae, 166(3), 583-643. DOI: 10.1007/s00222-006-0004-3
- May 21, 2010
- 09:50 AM
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Topologie von Flächen CXVII
by Thilo Kuessner in Mathlog
Matrizen, Flüsse und Knoten im Lorenz-Attraktor.
Letzte Woche ging es um Lorenz-Knoten, also Knoten im Lorenz-Attraktor, und vor 3 Wochen über den geodätischen Fluß auf der Modulfläche H2/SL(2,Z).
Dieser geodätische Fluß fließt auf dem Komplement der Kleeblattschlinge (eigentlich auf dem Einheits-Tangentialbündel der Modulfläche, aber das ist dasselbe wie das Komplement der Kleeblattschlinge, siehe TvF 112).
Die periodischen Flußlinien dieses Flusses nennt man modulare Knoten.
Die ........ Read more »
Ghys, �. (2009) Right-handed vector fields . Japanese Journal of Mathematics, 4(1), 47-61. DOI: 10.1007/s11537-009-0854-8
- April 20, 2010
- 03:15 AM
- 627 views
ECC: Paradigmen der Elliptische-Kurven-Kryptographie
by Thilo Kuessner in Mathlog
The Serpentine Course of a Paradigm Shift.Im Beitrag über die Video-Abstrakts beim "Journal of Number Theory" (Doch kein Aprilscherz III) hatte ich den Artikel Elliptic Curve Cryptography: The Serpentine Course of a Paradigm Shift erwähnt.
In dem Artikel geht es um die Geschichte von ECC (Elliptische-Kurven-Kryptographie), und auch um deren Einordnung unter Gender- und Konstruktivismus-Aspekten.
Zu den beiden letzteren Aspekten kommen noch zwei getrennte Beiträge, hier will ich nur kurz den........ Read more »
Koblitz, A., Koblitz, N., & Menezes, A. (2009) Elliptic curve cryptography: The serpentine course of a paradigm shift. Journal of Number Theory. DOI: 10.1016/j.jnt.2009.01.006
- March 18, 2010
- 10:14 PM
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Topologie von Flächen CVIII
by Thilo Kuessner in Mathlog
Fixpunkte und der 2-Quadrate-Satz.Letzte Woche hatten wir über die Anwendung von Modulformen auf den 2-Quadrate-Satz geschrieben, also auf die Frage:
"Welche Primzahlen lassen sich als Summe zweier Quadratzahlen zerlegen?"
Der schwierige Fall ist dabei der von Primzahlen p=4k+1, denn man sieht leicht, daß 2 sich zerlegen läßt und Primzahlen der Form p=4k+3 nie als Summe zweier Quadatzahlen zerlegt werden können.
Neben den letzte Woche erwähnten gibt es noch eine Reihe weiterer Beweise d........ Read more »
Zagier, D. (1990) A One-Sentence Proof That Every Prime p≡1(\mod 4) Is a Sum of Two Squares. The American Mathematical Monthly, 97(2), 144. DOI: 10.2307/2323918
- November 29, 2009
- 04:50 PM
- 485 views
Komplexitätsklassen als mathematische Axiome
by Thilo Kuessner in Mathlog
Michael Freedman schlägt vor, komplexitäts-theoretische Vermutungen als zusätzliche Axiome zur üblichen ZF-Mengenlehre zu postulieren. Als Anwendung beweist er eine Ungleichung für die Weite von Knoten.Der Artikel "Complexity classes as mathematical axioms" erscheint in der aktuellen Ausgabe der "Annals of Mathematics" und kann hier heruntergeladen werden.
Bekanntlich startet man in der Mathematik immer von Axiomen, aus denen sich alle Theoreme herleiten lassen müssen.
Allgemein anerkan........ Read more »
M. Freedman. (2009) Complexity Classes as Mathematical Axioms. Annals of Mathematics (2), 170(2), 995-1002. arXiv: 0810.0033v4
- April 28, 2009
- 05:33 AM
- 922 views
Zufällige Gruppen und das Menger-Fraktal
by Thilo Kuessner in Mathlog
Der Menger-Schwamm ist ein 'universelles 1-dimensionales Fraktal' und kommt, wie jetzt gezeigt wurde, auch in der Gruppentheorie "mit überwältigender Wahrscheinlichkeit" vor.
Das oben abgebildete Fraktal ist der Menger-Schwamm. Er hat die bemerkenswerte Eigenschaft, daß man jede 1-dimensionale Kurve in diesem Fraktal finden kann. Wie schon lange vermutet und jetzt bewiesen wurde, kommt er auch in der Gruppentheorie als typischer 'Rand' von Gruppen vor.
Zu einer Gruppe hat man ihren Cayleyg........ Read more »
Gromov, M. (2003) Random walk in random groups. Geometric and Functional Analysis, 13(1), 73-146. DOI: 10.1007/s000390300002
- April 26, 2009
- 06:13 PM
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Stabile Netzwerke und Eigenschaft T
by Thilo Kuessner in Mathlog
Die Konstruktion stabiler Netzwerke, über die wir gestern geschrieben hatten, hat überraschende Querverbindungen zu vielen anderen mathematischen Theorien.Gestern hatten wir über die neuen Arbeiten von Lubotzky, Kassabov und Nikolov zur Konstruktion stabiler Netzwerke (sogenannter Expander-Graphen) berichtet. Die historisch ältesten Konstruktionen solcher Expander-Graphen stammen von Margulis aus den 70er Jahren und benutzen Eigenschaft T von Gruppen.
Eigenschaft T ist ein zunächst künstl........ Read more »
G. A. Margulis. (1979) Finiteness of quotient groups of discrete subgroups . Functional Analysis and its Applications, 13(3), 178-187. DOI: 10.1007/BF01077485
- April 25, 2009
- 08:59 PM
- 863 views
Stabile Netzwerke - Neue Beispiele
by Thilo Kuessner in Mathlog
Konstruktion stabiler Netzwerke mit Gruppentheorie.Ein Netzwerk, zum Beispiel ein Telefonnetz, soll natürlich auch dann noch funktionieren, wenn einige Verbindungen ausfallen. Gleichzeitig möchte man diesen Effekt mit möglichst wenig Leitungen erreichen.
Einfaches Beispiel: man möchte 6 Punkte so verbinden, daß auch bei Ausfall von höchstens 2 Leitungen die Verbindungen noch funktionieren. Der Graph unten links ist natürlich nicht ausreichend, durch Ausfall zweier Leitungen wird der Zusa........ Read more »
Kassabov, M. (2006) Finite simple groups as expanders. Proceedings of the National Academy of Sciences, 103(16), 6116-6119. DOI: 10.1073/pnas.0510337103
- June 2, 2008
- 12:00 AM
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Knoten, Kabel und das Jones-Polynom
by Thilo Kuessner in Mathlog
Eine neue Arbeit von M.Hedden zu der Frage, ob man mit Quanteninvarianten, speziell dem Jones-Polynom, Knoten effektiv unterscheiden kann.... Read more »
Peter Ozsvath, & Zoltan Szabo. (2004) Holomorphic disks and genus bounds. Geometry and Topology, 311-334. DOI: 10.2140/gt.2004.8.311
- May 30, 2008
- 12:00 AM
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Topologie von Flächen XVI
by Thilo Kuessner in Mathlog
Das 4-Farben-Problem und Computerbeweise in der Mathematik.... Read more »
Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour, & Robin Thomas. (1996) A new proof of the four-colour theorem . Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, 02(01), 17-26. DOI: 10.1090/S1079-6762-96-00003-0
- March 24, 2008
- 08:23 PM
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Wieviel Platz braucht man, um eine Nadel zu drehen?
by Thilo Kuessner in Mathlog
Was ist die minimale Fläche in der Ebene, die man braucht, um eine Nadel der Länge 1 einmal um 360 Grad zu drehen?... Read more »
Dvir, Z. (2008) On the size of Kakeya sets in finite fields. Journal of the American Mathematical Society, 22(4), 1093-1097. DOI: 10.1090/S0894-0347-08-00607-3
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